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<!-- Sitzung 3: Eigenanalyse -->
# (3) Eigenanalyse

Ziel dieser Sitzung ist es, die Begriffe der Eigenanalyse, Orthonormalzerlegung und Singulärwertzerlegung in **R** anhand der in der Vorlesung diskutierten Beispiele nachzuvollziehen.


<!-- Abschnitt 1: Eigenwerte und Eigenvektoren -->
## Eigenwerte und Eigenvektoren

Wir betrachten das in der Vorlesung betrachtete Beispiel zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren. In **R** erlaubt der Befehl `eigen()` die Eigenanalyse einer quadratischen Matrix. 

\footnotesize
```{r}
# Matrixdefinition
A = matrix(c(2,1,
             1,2),
           nrow  = 2,
           byrow = TRUE)

# Eigenanalyse
EA = eigen(A)

# Eigenwerte von A
print(EA$values)

# Eigenvektoren von A
print(EA$vectors)
```
\normalsize

Für ein tieferes intuitives Verständnis können die Eigenvektoren einer $2 \times 2$ Matrix mithilfe folgenden **R** Codes visualisiert werden. Die resultierende Abbildungs ist als @fig-eigenvektoren dargestellt.

\footnotesize
```{r, eval = F}
library(latex2exp)

# Abbildungsparameter
par(
    family      = "sans",
    mfcol       = c(1,1),
    pty         = "s",
    bty         = "l",
    lwd         = 1,
    las         = 1,
    mgp         = c(2,1,0),
    xaxs        = "i",
    yaxs        = "i",
    font.main   = 1,
    cex         = 0.95,
    cex.main    = 1.2)

# Plot-Objekt
plot(NULL,
    xlab        = TeX("$x_1$"),
    ylab        = TeX("$x_2$"),
    xlim        = c(-2.6,2.6),
    ylim        = c(-2.6,2.6))
grid()

# Pfeildarstellung der Eigenvektoren von A
arrows(
    x0          = c(0,0),
    y0          = c(0,0),
    x1          = c(EA$vectors[1,1], EA$vectors[2,1]),
    y1          = c(EA$vectors[1,2], EA$vectors[2,2]),
    angle       = 20,
    length      = 0.1,
    lwd         = 2,
    col         = c("black", "black"),
    xpd         = TRUE)

# Ausgabe der Matrixprodukte Av_1, Av_2
Av_1  = A %*% EA$vectors[,1]
Av_2  = A %*% EA$vectors[,2]
print(Av_1)
print(Av_2)

# Pfeildarstellung der Matrixprodukte Av_1, Av_2
arrows(
    x0          = c(0,0),
    y0          = c(0,0),
    x1          = c(Av_1[2,1], Av_2[2,1]),
    y1          = c(Av_1[1,1], Av_2[1,1]),
    angle       = 20,
    length      = 0.1,
    lwd         = 1,
    col         = c("gray", "gray"),
    xpd         = TRUE)

# Annotation
text( 1/sqrt(2),  0.9, TeX("$v_1$"))
text( 1/sqrt(2), -0.9, TeX("$v_2$"))
text( 2/sqrt(2),  2.4, TeX("$Av_1 = \\lambda_1 v_1$"))
text(-1/sqrt(2), -0.4, TeX("$Av_2 = \\lambda_2 v_2$"))

# PDF-Speicherung
dev.copy2pdf(                                                           
    file        = "./Abbildungen/eigenvektoren.pdf",
    width       = 4,                     
    height      = 4)
dev.off()
```

\normalsize
![Visualisierung von Eigenvektoren einer $2 \times 2$ Matrix.]("./Abbildungen/eigenvektoren.pdf"){#fig-eigenvektoren fig-align="center" width=90%}  


<!-- Abschnitt 2: Orthonormalzerlegung -->
## Orthonormalzerlegung

Wie in der Vorlesung diskutiert, können die Ergebnisse der Eigenanalyse der Matrix
\begin{equation}
A := 
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix}
\end{equation}

aufgrund ihrer Symmetrie und bei Wahl von normierten Eigenvektoren für eine Orthonormalzerlegung von $A$ genutzt werden. Diese Einsicht wird in folgendem **R**-Code reproduziert.

\footnotesize
```{r}
# Eigenanalyse der Beispielmatrix
A   = matrix(c(2,1,
               1,2),
             nrow  = 2,
             byrow = TRUE)
EA  = eigen(A)

# Überprüfung der Länge der von R ermittelten Eigenvektoren
cat(  "Länge von v_1:", sqrt(t(EA$vectors[,1]) %*% EA$vectors[,1]),
    "\nLänge von v_2:", sqrt(t(EA$vectors[,2]) %*% EA$vectors[,2]), "\n")

# Definition der Orthonormalzerlegungsmatrizen
Q       = EA$vectors
Lambda  = diag(EA$values)

# Validierung der Orthonormalzerlegung von A
A       = Q %*% Lambda %*% t(Q)
print(A)
```

\normalsize


<!-- Abschnitt 3: Singulärwertzerlegung -->
\newpage
## Singulärwertzerlegung

Zuletzt wollen wir den in der Vorlesung hergestellten Zusammenhang zwischen der Singulärwertzerlegung und der Eigenanalyse einer Matrix mithilfe des **R**-Befehls `svd()` an einem Beispiel verdeutlichen.

\footnotesize
```{r}
# Definition einer 2 x 3 Matrix Y
Y     = matrix(c(1,2,3,
                 4,5,6),
               nrow  = 2,
               byrow = TRUE) 
print(Y)

# Singulärwertzerlegung von Y mithilfe von svd()
USV   = svd(Y)
U     = USV$u
S     = diag(USV$d)
V     = USV$v

# Eigenanalyse von YY^T mithilfe von eigen()
EAYYT = eigen(Y %*% t(Y))
print(EAYYT$vectors)
print(EAYYT$values)
print(U)
print(diag(S) ** 2)

# Eigenanalyse von Y^TY mithilfe von eigen() und Fokus auf die von Null verschiedenen Eigenwerte
EAYTY = eigen(t(Y) %*% Y)
print(EAYTY$vectors[,1:2])
print(EAYTY$values[1:2])
print(V)
print(diag(S) ** 2)
```